四种命题

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    教师活动:
    五、作业
    1.阅读课本 四种命题.
    2. 四种命题,练习(31页)1、2,练习(32页)1、2
    3.习题 1、2、3、4
    第二课时:反证法
    一、导入新课
    提问初中我们学过反证法,你能回答出用反证法证实命题的一般步骤吗?
    学生活动:
    口答:
    (l)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
    (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
    (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
    设计意图:
    复习旧知识,为学习反证法铺平道路.
    教师活动:
    导入同学们对反证法这种间接证法不像学过的直接证法如综合法、分析法那样熟悉,感到抽象、难懂,让我们举出一例对反证法加以介绍.
    我们年级有367名学生,请你证实这些学生中至少有两个学生在同一天过生日.
    这个问题若用直接证法来解决是有困难的,我们可以运用反证法.
    运用反证法证实这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”,也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”,从这个反设出发就会推出这
    367人就会有不同的367天过生日,这就出现了与一年只有365天(闰年366天)的矛盾.产生这个矛盾的来源是由于开始的反设,因此反设不成立,这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论.
    设计意图:
    以生活中的实际例子拉近学生与反证法的距离,激发学生的学习爱好.
    板书反证法证题的步骤:
    1.反设; 2.归谬; 3.结论
    例用反证法证实:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
    已知:如图,在⊙O中,弦 AB、CD相交于 P点,且 AB、CD不是直径.
    求证:弦AB、CD不被P点平分.
    设问用反证法证实这道题如何进行反设?怎样进行归谬?
    引导讨论“弦AB、CD不被P点平分”的反面是“弦AB、CD被P点平分”,因而反设是“假设弦AB、CD被P点平分”.
    学生活动:
    思考后分组讨论,互相补充.
    设计意图:
    在关键处设问,激励学生探究精神,提高运用反证法的能力.
    教师活动:
    由于P点不是圆心O,连结OP,由垂径定理的推论得 , ,这样过P点有两条直线与OP都垂直,与垂线的性质矛盾.
    结论是“弦AB、CD不被P点平分”成立.
    这道题用反证法证实还有一个方法.
    连结 AD、BD、BC、AC·
    提问用反证法证实怎样反设?怎样归谬?
    反设仍是“弦AB、CD能被P点平分”.
    学生活动:
    讨论后回答
    因为 ,所以四边形ABCD是平行四边形,而圆内接平行四边形必是矩形,则其对角线AB、CD必是圆O的直径,这与假设矛盾,所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立·
    设计意图:
    让学生进一步体会在反证法中如何进行反充、归谬.
    教师活动:
    练习用反证法证实 不是有理数
    证实:假设 是有理数,则 可表示为 ( , 为自然数,且互质)
    两边平方,得
    ①
    由①知 必是2的倍数,进而 必是2的倍数.
    令 代入①式,得
    ②
    由②知, 必是2的倍数, 和 都是2的倍数,则 、 不互质,与假定 、 互质相矛盾, 不是有理数.
    设计意图:
    巩固练习.
    教师活动:
    例用反证法证实:假如 ,那么 .
    剖析运用反证法证实这道题时,怎样进行反设? 的反面是否仅有 ?
    证实:假设 不小于 ,则或者 ,或者
    当 ,因为 ,所以
    在 的两边都乘以 得
    ,
    在 的两边都乘以 得
    ,
    所以
    这与假设 矛盾,所以 不成立.
    当 时可得到 ,这与假设 矛盾.
    综上所述,所以
    设计意图:
    通过对例题的剖析,使学生把握如何在反证法中反设和归谬.
    教师活动:
    三、课堂练习
    用反证法证实:
    已知:锐角三角形ABC中
    求证:
    证实:假设 ,则
    因为 ,所以 , .这样可推出 是钝角三角形或直角三角形,这与假设 是锐角三角形矛盾.所以
    设计意图:
    进一步提高运用反证法证题的能力.
    四、小结
    反证法证题的步骤:
    (1)反设;(2)归谬;(3)结论.
    运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾,也可以是与某个公理、定理的矛盾,也可以是证实过程中自相矛盾.
    五、作业
    1.阅读课本 四种命题中“反证法”部分
    2. 四种命题中“反证法”练习1、2.
    3.习题 5、6
    4.用反证法证实:在 中,AB、BC、AC不全相等,那么 、 、 中至少有一个大于
    证实:假设 、 、 都大于 ,即 , ,
    因为AB、BC、AC不全相等,所以上面三式中不能同时取等号,这样有
    .与定理“三角形内角和为 ”矛盾,因此结论 、 、 中至少有一个大于 成立.

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