高一数学《方程的根与函数的零点》教案

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§3.1.1  方程的根与函数的零点
  学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理.
  学习过程
一、课前准备
（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
  判别式 =  .
当 0，方程有两根，为 ；
当 0，方程有一根，为 ；
当 0，方程无实根.
复习2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系？
判别式 一元二次方程 二次函数图象
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程 的解为   ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为  .
② 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为  .
③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为  .
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到 吗？

新知：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点（zero point）.
反思：
函数 的零点、方程 的实数根、函数  的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：
（1）函数 的零点为  ；  （2）函数 的零点为  .


小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.
探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号
② 观察下面函数 的图象，

在区间 上  零点；   0；
在区间 上  零点；   0；
在区间 上  零点；   0.
新知：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 <0，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根.
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题
例1求函数 的零点的个数.

变式：求函数 的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程 的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
※ 动手试试
练1. 求下列函数的零点：
（1） ；
（2） .


练2. 求函数 的零点所在的大致区间.
三、总结提升
※ 学习小结
①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理
※ 知识拓展
图象连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.
  学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.
  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数 的零点个数为（    ）.
  A.  1    B. 2 C.  3  D. 4
2.若函数 在 上连续，且有 ．则函数 在 上（    ）.
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
3. 函数 的零点所在区间为（    ）.
A. B. C. D. 
4. 函数 的零点为  .
5. 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点．则 的零点个数为 .
  课后作业
1. 求函数 的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.


2. 已知函数 .
（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值.