高三数学三角函数、解三角形章末复习测试

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高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
   一项是符合题目要求的)
1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于(　　)
   　 A.45   B.35    C．－45 D．－35
　 解析　B　由2kπ＜α＜π2＋2kπk∈Z，sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝35.
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　)
  A．直角 三角形   B．锐角三角形
  C．钝角三角形   D．等边三角形
　  解析　A　sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，
   又sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．
3．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为(　　)
   A．25    B．51 C．493  D．49
　 解析　D　由S△ABC＝12•AB•ACsin 60°＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理，
   有BC2＝162＋552－2×16×55×cos 60°＝2 401，得BC＝49.
4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是(　　)
    A．sin(α＋β)>sin α＋sin β  B．cos(α＋β)>cos αcos β
    C．sin(α＋β)>sin(α－β)    D．cos(α＋β)>cos(α－β)
　    解析　C　∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．
5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电
   视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 
   75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)
  A．22 km   B．32 km   C．33 km    D．23 km
　解析　B　如图，由条件知AB＝24×1560＝6 .在△ABS中，∠BAS＝30°，
  AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.
   由正弦定理知BSsin 30°＝ABsin 45°，
所以BS＝ABsin 30°sin 45°＝32.故选B.
 (2011•威海一模)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，   
直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是(　　)
    A．y＝4sin4x＋π6   B．y＝2sin2x＋π3＋2
    C．y＝2sin4x＋π3 ＋2   D．y＝2sin4x＋π6＋2
　  解析　D　∵A＋m＝4，－A＋m＝0，∴A＝2，m＝2.
∵T＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y＝2sin(4x＋φ)＋2.
∵x＝π3是其对称轴，∴sin4×π3＋φ＝±1.
∴4π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∴φ ＝kπ－5π6(k∈Z)．
当k＝1时，φ＝π6，故选D.
7．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)
   A．0 B.π4   C.π2   D．π
　解析　C　当φ＝π2时，y＝sin2x＋π2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数．
8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90°”的(　　)
   A．充分不必要条件   B．必要不充分条件
   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件
　解析　B　C＝90°时，A与B互余，sin A＝cos B，cos A＝sin B，有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立；但当A＝B时，也有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立，故“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90°”的必要不充分条件．
9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)
A．钝角三角形   B．直角三角形
C．等腰直角三角形   D．等边三角形
  　解析　D　∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，
又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴2b＝a＋c＝2a，
∴b＝a，即a＝b＝c.
10．f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，则(　　)
A．f(x－1)一定是奇函数   B．f(x－1)一定是偶函数
C．f(x＋1)一定是奇函数   D．f(x＋1)一定是偶函数
　解析　D　∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，∴f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，∴函数f(x＋1)是偶函数．
11．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是(　　)

  解析　A　令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.
12．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为(　　)
    A．1   B.110   C．1或110  D．1或10
　 解析　C　tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtanβ＝lg10a＋lg1a1－lg10a•lg1a＝1⇒lg2a＋lg a＝0，
  所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2011•黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所  
    示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.
　解析　由图象可得最小正周期为2π3.   所以f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，
故f2π3＝－fπ2＝23.
   【答案】　23
14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且 
   满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．
　解析　由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absin C＝12×4×sin 60°＝3.
  【答案】　3
15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其 
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 
高度为________m.
　解析　轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60°＝53(m)．
【答案】　53
16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.
　解析　记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情 
形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知 
    有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33
  ＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.
【答案】　－12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
　解析　∵lg sin B＝lg22，∴sin B＝22，
∵B为锐角，∴B＝45°.
又∵lg a－lg c＝lg22，∴ac＝22.
由正弦定理，得sin Asin C＝22，
∴2sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，

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