高三数学解析几何训练试题

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(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
　解析　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.
∴椭圆方程为x216＋y27＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，
由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，
故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①
由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，
代入①式并化简，得9y2＝112.
∴点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)，
∴轨迹是两条平行于x轴的线段．
20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．
　解析　设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，
∴d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.
∵a>0，x0≥0，
∴(1)当0<a<1时，1－a>0，
此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；
(2)当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)求△F1MF2的面积．
　解析　(1)∵双曲线离心率e＝2，
∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－10)在双曲线上，
知λ＝42－(－10)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，
∴MF1→•MF2→＝(23－3，－m)•(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，
∴MF1→⊥MF2→，故点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝12|F1F2|•|m|＝23×3＝6.
22．(12分)已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．
　解 析　(1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.
由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m)．
∵m>1，
∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，
则f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
令f′(a)＝0，得a＝－43.
∵当a<－43时，f′(a)<0；
当－43<a<2时，f′(a)>0.
∴f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，
∴d1d2min＝5•f－43＝22，
又椭圆的离心率为22，
∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率．

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