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高中数学知识点:空间点、直线、平面之间的位置关系

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  一. 本周教学内容:空间点、直线、平面之间的位置关系

  二. 重点:

  1. 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在平面内。

  2. 公理二:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

  3. 公理三:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

  4. 公理四:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

  5. 两条直线的位置关系:平行、相交、异面

  6. 直线与平面的位置关系:直线在平面内、相交、平行

  7. 平面与平面的位置关系:相交、平行

  【典型例题

  [例1] 下列结论中正确的有个

  (1)过空间三点的平面有且只有一个

  (2)过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个

  (3)过空间两条相交直线的平面有且只有一个

  (4)过空间两条平行直线的平面有且只有一个

  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

  答案:C

  解析:(2)(3)(4)正确。

  [例2](1)空间三条直线两两相交可确定几个平面?

  (2)空间四条平行直线可确定几个平面?

  (3)空间一条直线和直线外三点,可确定几个平面?

  答案:

  (1)1个或3个

  (2)1个,4个或6个

  (3)1个,3个或4个

  [例3]  外三边所在直线分别交平面 #FormatImgID_0#

  

  ∴  中E、F为AA1、CC1中点,求证: #FormatImgID_2#

  证明:延长 交AD于M,延长 交DC于N

  E为A1A中点 ∴ MA=AD

  同理CN=CD

  

  ∴ M、N、B三点共线

  ∴

  [例5] 空间不共点的四条直线两两相交,求证四线共面。

  证明:

  (1)有三线共点,如图

  A、B、D确定平面 同理

  (2)无三点共线,如图

  A、D、F三点确定平面 #FormatImgID_4#

  证明:D为 上一点

  ,

  确定平面 同理A、C、D #FormatImgID_5#

  互相平分 MN过EF中点

  ∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分

  

  [例8] 正方体 成异面关系的棱有 条;

  (3)与BD成异面关系的棱有 条;

  (4)12条棱中异面直线有 对。

  

  解:(1)4条 (2)6条 (3)6条 (4)24对

  [例9] 空间四边形ABCD(A、B、C、D不共面)E、M为AD的三分点,F、N为BC的三分点,由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。

  

  答案:六对,任意两条均异面

  证明:EF、MN异面(反证法)

  假设EF、MN共面 #FormatImgID_9#

  ∴ A、B、C、D 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立

  ∴ EF、MN为异面直线

  [例10] 正方体 #FormatImgID_10#

  解:

  (1)

  ∵ 正 ∴  异面, B.  D. 2MN与AC BD无法比较

  3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。

  4.  ,则 ,求证 所在平面外一点, ,D、E、F依次为 、 的重心,求 的面积。

  【试题答案】

  1. 平行或相交或异面

  2. B

  3. 相交或异面

  4. 平行或相交或异面

  5. ∵ ∴  没有公共点 ∵  ∴  与 无公共点

  6. 连PD延长交AB于M,连PE延长交BC于N,连结MN

  

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