一. 本周教学内容:空间点、直线、平面之间的位置关系
二. 重点:
1. 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在平面内。
2. 公理二:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3. 公理三:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4. 公理四:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
5. 两条直线的位置关系:平行、相交、异面
6. 直线与平面的位置关系:直线在平面内、相交、平行
7. 平面与平面的位置关系:相交、平行
【典型例题
[例1] 下列结论中正确的有个
(1)过空间三点的平面有且只有一个
(2)过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个
(3)过空间两条相交直线的平面有且只有一个
(4)过空间两条平行直线的平面有且只有一个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案:C
解析:(2)(3)(4)正确。
[例2](1)空间三条直线两两相交可确定几个平面?
(2)空间四条平行直线可确定几个平面?
(3)空间一条直线和直线外三点,可确定几个平面?
答案:
(1)1个或3个
(2)1个,4个或6个
(3)1个,3个或4个
[例3] 外三边所在直线分别交平面 #FormatImgID_0#
∴ 中E、F为AA1、CC1中点,求证: #FormatImgID_2#
证明:延长 交AD于M,延长 交DC于N
E为A1A中点 ∴ MA=AD
同理CN=CD
∴ M、N、B三点共线
∴
[例5] 空间不共点的四条直线两两相交,求证四线共面。
证明:
(1)有三线共点,如图
A、B、D确定平面 同理
(2)无三点共线,如图
A、D、F三点确定平面 #FormatImgID_4#
证明:D为 上一点
,
确定平面 同理A、C、D #FormatImgID_5#
互相平分 MN过EF中点
∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分
[例8] 正方体 成异面关系的棱有 条;
(3)与BD成异面关系的棱有 条;
(4)12条棱中异面直线有 对。
解:(1)4条 (2)6条 (3)6条 (4)24对
[例9] 空间四边形ABCD(A、B、C、D不共面)E、M为AD的三分点,F、N为BC的三分点,由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。
答案:六对,任意两条均异面
证明:EF、MN异面(反证法)
假设EF、MN共面 #FormatImgID_9#
∴ A、B、C、D 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立
∴ EF、MN为异面直线
[例10] 正方体 #FormatImgID_10#
解:
(1)
∵ 正 ∴ 异面, B. D. 2MN与AC BD无法比较
3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。
4. ,则 ,求证 所在平面外一点, ,D、E、F依次为 、 的重心,求 的面积。
【试题答案】
1. 平行或相交或异面
2. B
3. 相交或异面
4. 平行或相交或异面
5. ∵ ∴ 没有公共点 ∵ ∴ 与 无公共点
6. 连PD延长交AB于M,连PE延长交BC于N,连结MN
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