中学趣味数学：立方体

　　上面是同一立方体的三个视图。在这些视图中，立方体的每一个可视面上都有一个图形，一共有五种图形：

　　稍加分析便可知道，这五种图形中必定有一种会在立方体上出现两次。实际上，有三种图形，其中任何一种都有可能在立方体上出现两次。

　　但是，这个立方体的主人如实地说：“在立方体上出现两次的那个图形不在这三个视图中立方体的底面上。”这样，只有一种图形可以在立方体上出现两次。

　　在这五种图形中，在立方体上出现两次的是哪种图形？

　　(注：如果你觉得难以同时看到立方体的六个面，你可以用纸制作一个立方体，或者照下图画出立方体的多面图。在这种多面图中，除了底面外，其他各面都可以同时看到。)

　　（提示：任一种图形，或是出现一次或是出现两次。选定这样一种图形：当假设它只出现一次时，可立即推断出其他四个面上的图形；当假设它出现两次时，可通过另一种图形推断出所有面上的图形。）

　　答　案

　　先不考虑立方体主人的话，我们将看到，立方体各面的图形安排有三种可能。其中的两种将用主人的话加以排除。任何一种图形或是出现一次或是出现两次。我们选择一种图形进行推理。选择哪一种图形合适呢？由于与●出现在同一幅视图中的包括所有其他四种图形，○也是如此，因此，如果假定●或○只出现一次，则其他四个面上的图形可以立即推导出来。

　　我们选择●，如前所述，存在两种可能：●或是出现一次或是出现两次。

　　假设●只出现一次，则根据视图2，可得： 于是，根据

　　视图3，可得： 。最后，根据视图1，可得：

图1　　　　　　　　图2

假设●出现两次，则其他每个图形都只出现一次。于是，视图1中的○和视图2中○的是一回事。因此根据视图1，可得： 。

　　于是，根据●出现两次的假设，可得：

Ⅲ

。可验证视图3与这个假设相符。

　　在下表中，对上述三种可能，在每个视图项下记录了相应的底面图形，同时还记录了相应的出现两次的图形。

底面图形　　出现两次的图形

视图1　　视图2　　视图3