提公因式法教案

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提公因式法教案

    课  题 §15.5.1  提公因式法
    备课人 张涛武 使用人
    教  学
    目  标 (一)教学知识点
    1.因式公解、公因式.
    2.用提公因式法分解因式.
    (二)能力训练要求
    1.使学生了解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.
    2.了解公因式概念和提取公因式的方法.
    3.会用提取公因式法分解因式.
    (三)情感与价值观要求
    在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维,渗透化归的思想方法.
    重 点 会用提公因式法分解因式.
    难 点 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式
    教学方法 引导发现法.
    教具准备 投影片.
    教学过程
    Ⅰ.提出问题,创设情境
    [师]请同学们完成下列计算,看谁算得又准又快.(出示投影片)
    (1)20×(-3)2+60×(-3)
    (2)1012-992
    (3)572+2×57×43+432
    (学生在运算与交流中积累解题经验,复习乘法公式)
    [生]解:(1)20×(-3)2+60×(-3)
    =20×9+60×-3
    =180-180=0
    或20×(-3)2+60×(-3)
    =20×(-3)2+20×3×(-3)
    =20×(-3)(-3+3)=-60×0=0.
    (2)1012-992=(101+99)(101-99)
    =200×2=400
    (3)572+2×57×43+432
    =(57+43)2=1002
    =10000.
    [师]在上述运算中,大家或将数字分解成两个数的乘积,或者逆用乘法公式使运算变得简单易行,类似地,在式的变形中,有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式,这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解.
    Ⅱ.导入新课
    1.分析讨论,探究新知.
    出示投影片
    把下列多项式写成整式的乘积的形式
    (1)x2+x=_________
    (2)x2-1=_________
    (3)am+bm+cm=__________
    [生]根据整式乘法和逆向思维原理,可以做如下计算:
    (1)x2+x=x(x+1)
    (2)x2-1=(x+1)(x-1)
    (3)am+bm+cm=m(a+b+c)
    [师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式.
    可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形,所以需要逆向思维.
    再观察上面的第(1)题和第(3)题,你能发现什么特点.
    [生]我发现(1)中各项都有一个公共的因式x,(2)中各项都有一个公共因式m,是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢?
    [师]你分析得合情合理.
    因为ma+mb+mc=m(a+b+c).
    于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
    2.例题教学,运用新知.
    出示投影片:
    [例1]把8a3b2-12ab3c分解因式.
    [例2]把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
    [例3]把3x3-6xy+x分解因式.
    [例4]把-4a3+16a2-18a分解因式.
    [例5]把6(x-2)+x(2-x)分解因式.
    (让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成,然后与同伴交流解题心得,教师深入到学生中去发现问题,并对有困难的学生进行适时的引导和启发,最后师生共同评析、总结)
    [例1]分析:先找出8a3b2与12ab3c的公因式,再提出公因式.我们看这两项的系数8与12,它们的最大公约数是4,两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b.其中a的最低次数是1,b的最低次数是2.我们选定4ab2为要提出的公因式.提出公因式4ab2后,另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了.
    解:8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).
    总结:提取公因式后,要满足另一个因式不再有公因式才行.可以概括为一句话:括号里面分到"底",这里的底是不能再分解为止.
    [例2]分析:(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.这就是说,公因式可以是单项式,也可以是多项式,是多项式时应整体考虑直接提出.
    解:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
    [例3]解:3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1).
    注意:x(3x-6y+1)=3x2-6xy+x,而x(3x-6y)=3x2-6xy,所以原多项式因式分解为x(3x-6xy+1)而不是x(3x-6y).这就是说,1作为项的系数,通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,可以概括为:某项提出莫漏1.
    [例4]解:-4a3+16a2-18a
    =-(4a3-16a2+18a)
    =-2a(2a2-8a+9)
    注意:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出"-"号,使括号内的第一项的系数是正的.在提出"-"号时,多项式的各项都要变号.可以用一句话概括:首项有负常提负.
    [例5]分析:先找6(x-2)与x(2-x)的公因式,再提取公因式.因为2-x=-(x-2),所以x-2即公因式.
    解:6(x-2)+x(2-x)
    =6(x-2)-x(x-2)
    =(x-2)(6-x).
    总结:有时多项式的各项从表面上看没有公因式,但将其中一些项变形后,但可以发现公因式,然后再提取公因式.
    Ⅲ.随堂练习
    1.课本P194练习1、2、3.
    Ⅳ.课时小结
    [师]今天我们学习了提公因式法分解因式.同学们在理解的基础上,可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.
    各项有"公"先提"公",
    首项有负常提负.
    某项提出莫漏1.
    括号里面分到"底".
    Ⅴ.课后作业
    课本P198~P199习题15.5─1、4.(1),6题.