高三物理模拟练习：“弹簧类问题

　　点评：在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中，具有下面的特点：

　　（1）两个物体速度相等时，弹簧处于形变量（压缩或拉伸）最大的状态，弹簧的弹性势能达到最大。

　　（2）两个物体不停地进行着加速和减速运动，但加速度时刻在变化，所以有关两个物体运动的问题不能采用运动学公式来解决。但此模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统机械能守恒。

　　4：机械能守恒型弹簧问题

　　对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。

　　例5．一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B，它们竖直静止在水平面上，如图7所示。现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面。求：

　　⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值。

　　⑵此过程中力F所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g=10m/s2）

　　分析：此题考查学生对A物体上升过程中详细运动过程的理解。在力F刚刚作用在A上时，A物体受到重力mg，弹簧向上的弹力T，竖直向上的拉力F。随着弹簧压缩量逐渐减小，弹簧对A的向上的弹力逐渐减小，则F必须变大，以满足F+T-mg=ma。当弹簧恢复原长时，弹簧弹力消失，只有F-mg=ma；随着A物体继续向上运动，弹簧开始处于拉伸状态，则物体A的受到重力mg，弹簧向下的弹力T，竖直向上的拉力F，满足F-T-mg=ma。随着弹簧弹力的增大，拉力F也逐渐增大，以保持加速度不变。等到弹簧拉伸到足够长，使得B物体恰好离开地面时，弹簧弹力大小等于B物体的重力。

　　答案：（1）开始时，对于A物体：，得弹簧压缩量是Δx=0.15m

　　B刚要离开地面时，对于B物体仍有：，得弹簧伸长量Δx=0.15m

　　因此A向上运动的位移是0.3m，由公式：求得：加速度是3.75m/s2。

　　所以：开始时刻F=ma=45N为拉力最小值；B刚要离开地面时F'-mg-kΔx=ma，得F'=285N为拉力最大值。

　　（2）拉力做的功等于系统增加的机械能，始末状态弹性势能相同。所以由和，可得此过程中拉力做的功等于49.5J。

　　点评：此类题的关键是要分析出最大值和最小值时刻的特点，必须通过受力分析得出物体运动的详细过程特征，只要把物体做每一种运动形式的力学原因搞清楚了，这类问题就会迎刃而解。所以，学生在平时的训练中，必须养成良好的思维习惯，对于较复杂的物理过程，必须先分段研究，化一个复杂问题为若干个简单模型，针对若干个简单的物理情景，逐一分析出现这一物理情景的力学原因，当把每一个物理情景都分析清楚了，整个问题的答案就会水到渠成。

　　例6．如图8所示，物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水平面上。将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力。求：

　　（1）A与B碰撞后瞬间的速度大小。

　　（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面压力为多大？

　　（3）开始时，物体A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？

　　分析：过程分析法：

　　第一阶段：A自由落体；

　　第二阶段：A、B发生碰撞，作用时间极短，时间忽略；

　　第三阶段：AB成为一体的瞬间，弹簧形变来不及发生改变，弹簧的弹力仍为mg，小于AB整体重力2mg，所以物体AB所受合力仍然为向下，物体仍然向下加速，做加速度减小的加速运动。当弹簧的弹力增大到正好为2mg时，物体AB合力为0，物体继续向下运动。

　　第四阶段：弹簧继续被压缩，压缩量继续增加，产生的弹力继续增加，大于2mg，使得物体AB所受合力变为向上，物体开始向下减速，直至弹簧压缩到最短，AB物体停止运动。所以，当物体AB所受合力为0时就是该物体速度最大的时候。

　　A与B碰撞，由于碰撞时间极短，由A、B组成的系统动量守恒得：。所以求得A与B碰撞后瞬间的速度大小

　　（2）由前面分析知，A和B一起运动达到最大速度的时刻，即为物体AB受合力为0的时刻：对C受力分析知地面对C的支持力。所以物体C对水平地面压力也为3mg。

　　（3）设物体A从距离B为H的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面。要使C恰好离开地面，意味着当A上升到最高点时弹簧的弹力为mg，弹簧的伸长量为，A、B相碰结束时刻弹簧的压缩量也为。所以，由A、B物体以及弹簧组成的系统，从A、B相碰结束开始到A、B上升到最高点的过程中，系统机械能守恒，初状态A、B的动能全部转化为末状态A、B的重力势能，弹性势能没有变化。所以有：

　　，求得：

　　点评：高中阶段的机械能守恒等式分为：“守恒式”、“转移式”和“转化式”三种，对于任何研究对象，无论是单个物体还是系统，都可以采用“守恒式”列等式，选好零势能面，确定初、末状态的机械能，此方法思路简单，但等式复杂，运算量较大。“转移式”只能针对一个系统，如两个物体A、B组成的系统，，若A物体机械能减小，B物体的机械能一定增加，且变化量相等，A减小的机械能转移到B上导致B物体机械能增加。“转化式”体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外一种形式，在转化过程中总的机械能不变。即：，若物体或系统动能增加了，势能必然减小，且增加的动能等于减小的势能。

　　此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒，在这类模型中，一般涉及动能、重力势能和弹性势能，列等式一般采用“转移式”或“转化式”。

　　5．简谐运动型弹簧问题

　　弹簧振子是简谐运动的经典模型，有一些弹簧问题，如果从简谐运动的角度思考，利用简谐运动的周期性和对称性来处理，问题的难度将大大下降。

　　例7．如图9所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图像，可能是下图中的

　　分析：我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力，而弹力与形变量成正比，所以加速度与位移之间也应该是线性关系，加速度与位移关系的图像为直线。物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小关系应该是本题的难点，借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便。若物块正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时所受的合力也是mg，方向向上，所以弹力为2mg，加速度为g。现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于2mg，加速度必定大于g。

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