圆锥曲线

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圆锥曲线

    1.定义:⑴椭圆: ;
    ⑵双曲线: ;⑶抛物线:略
    2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: (e为离心率); (左"+"右"-");②抛物线:
    ⑵弦长公式:
    ;
    注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。
    ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:   ( 同时大于0时表示椭圆, 时表示双曲线);
    ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab;
    ②P,Q为椭圆上任意两点,且OP 0Q,则  ;
    ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点  是 内心, 交 于点 ,则   ;
    ④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大;
    ⑸双曲线中的结论:
    ①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ;
    ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0);
    ③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ;
    ④双曲线为等轴双曲线  渐近线为  渐近线互相垂直;
    (6)抛物线中的结论:
    ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
    <Ⅱ>.  ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。
    ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质:
    <Ⅰ>.  ;       <Ⅱ>. 恒过定点 ;
    <Ⅲ>. 中点轨迹方程: ;<Ⅳ>. ,则 轨迹方程为: ;<Ⅴ>.  。
    ③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则:
    <Ⅰ>.当 时,顶点到点A距离最小,最小值为 ;<Ⅱ>.当 时,抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小,最小值为 。
    3.直线与圆锥曲线问题解法:
    ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
    注意以下问题:①联立的关于" "还是关于" "的一元二次方程?
    ②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗?
    ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题
    步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。
    4.求轨迹的常用方法:
    (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。