空间夹角和距离

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    不难证明 为平面BC1D的法向量,
    ∵  。
    ∴  D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为 。
    点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。
    题型2:直线与平面所成的角
    例3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 ,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(  )
    A.                B.               C.               D. 
    解:构造正方体如图所示,过点C作CO⊥平面PAB,垂足为O,则O为正ΔABP的中心,于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a,则PO= ,故 ,即选C。
    思维点拨:第(2)题也可利用公式 直接求得。
    例2.(03年高考试题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90 ,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用余弦值表示);
    解析:如图所示,建立坐标系,坐标原点为C,设CA=2a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), G( ) ,
    ∵  ,
    ,
    ,
    ∴ a=1, ,
    ∵  为平面ABD的法向量,且 。
    ∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是 。
    点评:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。
    题型3:二面角
    例5.在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,E为BC中点。
    (1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小(用正切值表示);
    (2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
    解析:(1)延长AB、DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱,∵PA⊥平面ABCD,∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,
    过A作AO⊥PF于O,连结OD,则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得 ,故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为 ;
    (2)解法1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A,
    ∴DA⊥平面BPA于A, 同时,BC⊥平面BPA于B,
    ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD= /2  θ=450。
    即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。 
    解法2(补形化为定义法)
    如图:将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN,则PQ⊥PA、PD,于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
    在Rt△PAD中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。
    例6.(1)(2009年,北京卷高考题)如图6,正三棱柱 的底面边长为3,侧棱 ,D是CB延长线上一点,且 。求二面角 的大小。(略去了该题的①,③问)
    (2)(06四川卷)已知球 的半径是1, 、 、 三点都在球面上, 、 两点和 、 两点的球面距离都是 , 、 两点的球面距离是 ,则二面角 的大小是(    )
    (A)             (B)            (C)             (D)
    解析:(1)取BC的中点O,连AO。
    由题意:平面 平面 , ,∴ 平面 ,
    以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系,
    则  , , , ,
    ∴  ,  ,  ,
    由题意   平面ABD, ∴  为平面ABD的法向量。
    设 平面 的法向量为  ,
    则 ,  ∴  ,  ∴  ,
    即  。∴ 不妨设  ,
    由 ,
    得 。 故所求二面角 的大小为 。
    评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:"找--证--求"直接简化成了一步曲:"计算",这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神;
    (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取 时,会算得 ,从而所求二面角为 ,但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取"相等角"或取"补角"。
    (2)解析:球 的半径是R= , 三点都在球面上, 两点和 两点的球面距离都是 ,则∠AOB,∠AOC都等于 ,AB=AC, 两点的球面距离是 ,∠BOC= ,BC=1,过B做BD⊥AO,垂足为D,连接CD,则CD⊥AD,则∠BDC是二面角 的平面角,BD=CD= ,∴∠BDC= ,二面角 的大小是 ,选C。
    题型4:异面直线间的距离
    例7.如图,已知正方体ABCD-    棱长为 ,
    求异面直线BD与 C的距离.
    解法一:连结AC交BD的中点O,取 的中点M,连结BM交 于E,连 ,则 ,过E作EF//OM交OB于F,则 。
    又斜线 的射影为AC,BD AC, 。
    同理 , 为BD与 的公垂线,由于M为 的中点, ∽ , 。
    ,EF//OM, ,故 OB= , .
    解法二.(转化为线面距)
    因为BD//平面 , 平面 ,故BD与 的距离就是BD到平面 的距离。
    由 ,即 ,得 .
    解法三.(转化为面面距)易证平面 //平面 ,用等体积法易得A到平面 的距离为 。
    同理可知: 到平面 的距离为 ,而 ,故两平面间距离为 .
    解法四.(垂面法)如图,BD//平面 , , 平面 ,平面  平面 = , ,故O到平面 的距离为 斜边上的高 。
    解法五。(函数最小值法)如图,在上取一点M,作ME BC于E,过E作EN BD交BD于N,易知MN为BD与 的公垂线时,MN最小。
    设BE= ,CE=ME= ,EN= ,
    MN== = = 。
    当时 ,时, 。
    例8.如图2,正四棱锥 的高 ,底边长 。求异面直线 和 之间的距离?
    分析:建立如图所示的直角坐标系,则
    ,  ,
    , ,
    。
    , 。
    令向量 ,且 ,
    则 , , ,
    , 。
    异面直线 和 之间的距离为:
    。
    题型5:点面距离
    例9.如图,已知ABCD为边长是4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。
    解法一:连结BF,BG, ,
    又E,F分别是AB,AD的中点,  
    。
    , ,
    ,
    .
    解法二. E,F分别是AB,AD的中点, EF//BD, B到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离,BD AC于O,EF//BD,
    又GC 平面ABCD,EF 平面ABCD, EF GC,EF 平面GEF, 平面GEF 平面GCH,过O点作 HG,则 平面GEF, 为O到平面GCH的距离,即B到平面GEF的距离。
    由解法一知: ,由 ∽ 得  。
    思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。
    例10.(1)(06安徽)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面 内,其余顶点在 的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面 的距离可能是:______(写出所有正确结论的编号)

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