空间夹角和距离

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    ①3;     ②4;    ③5;    ④6;    ⑤7
    (2)平行四边形的一个顶点A在平面 内,其余顶点在 的同侧,已知其中有两个顶点到 的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是:①1;     ②2;    ③3;    ④4;  
    以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号)
    解析:(1)如图,B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4,则D、A1的中点到平面 的距离为3,所以D1到平面 的距离为6;B、A1的中点到平面 的距离为 ,所以B1到平面 的距离为5;则D、B的中点到平面 的距离为 ,所以C到平面 的距离为3;C、A1的中点到平面 的距离为 ,所以C1到平面 的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选①③④⑤。
    (2)如图,B、D到平面 的距离为1、2,则D、B的中点到平面 的距离为 ,所以C到平面 的距离为3;
    B、C到平面 的距离为1、2,D到平面 的距离为 ,则 ,即 ,所以D到平面 的距离为1;
    C、D到平面 的距离为1、2,同理可得B到平面 的距离为1;所以选①③。
    题型6:线面距离
    例11.已知正三棱柱 的底面边长为8,对角线 ,D是AC的中点。(1)求点 到直线AC的距离。(2)求直线 到平面 的距离。
    解析:(1)连结BD, ,由三垂线定理可得:
    ,所以 就是 点到直线AC的距离。
    在 中  .
    。
    (2)因为AC与平面BD 交于AC的中点D,设 ,则 //DE,所以 //平面 ,所以 到平面BD 的距离等于A点到平面BD 的距离,等于C点到平面BD 的距离,也就等于三棱锥 的高。
    , , 所以,直线 到平面BD 的距离是 。
    思维点拔:求空间距离多用转化的思想。
    例12.如图7,已知边长为 的正三角形 中, 、 分别为 和 的中点, 面 ,且 ,设平面 过 且与 平行。 求 与平面 间的距离?
    分析:设 、 、 的单位向量分别为 、 、 ,选取{ , , }作为空间向量的一组基底。
    易知 ,
    = = = ,
    设 是平面 的一个法向量,则
    ,
    ,即  ,
    直线 与平面 间的距离  =
    五.思维总结
    1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分,学习时要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识(特别是余弦定理)熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来,这里要特别注意平面角的探求;
    2.把空间问题转化为平面问题,从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤:"作"、"证"、"算"。
    3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点:
    ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离,一般情况下,力求明确所求角或距离的位置;
    ②作线面角的方法除平移外,补形也是常用的方法之一;求线面角的关键是寻找两"足"(斜足与垂足),而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理;
    ③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种:
    根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到面的垂线。解决办法,先找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。
    作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式"cosθ= "求二面角否则要适当扣分。
    ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法,利用直接法求距离需找到点在面内的射影,此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法;
    ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离,然后将所求量置于一个三角形中,通过解三角形最终求得所需的角与距离。
    4.注意数学中的转化思想的运用
    (1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置;
    (2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置;
    (3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

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