人教新课标数学七年级《三角形全等的判定》教学设计之三

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三角形全等的判定（三）

一、教学目的和要求
　　熟练掌握“边边边”判定公理，正确找出对应边，在解决较为隐蔽条件的题目时应综合考虑四种判定公理，对三角形全等部分应有较高要求。

二、教学重点和难点
　　重点：正确找到对应关系，以及通过两次全等或运用其他数学知识找到对应关系以达到求证全等的目的。
　　难点：四种判定方法的混合运用，思路要清晰、准确。

三、教学过程
（一）复习、引入
提问
　1. 我们已经学习了四种判定三角形全等的方法，请你说出是哪四种？
　　（“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”）
　2. 如果两个三角形对应相等的关系是“SSA”或“AAA”，能否判定两个三角形全等？为什么？
　　（不能，如图76，(ABC和(ABD中它们对应相等关系是“SSA”，显然不全等。

　　如图77，(ADE和(ABC它们对应相等的关系是：“AAA”，显然不全等）


（二）新课
　　前面几节课中研究了证明两个三角形全等的方法，并且可以通过三角形全等再证明出对应线段或对应角相等。今天我们再练习一些题目，使同学们对较为复杂一些的题目能正确分析出解题思路，以加深对三角形全等的理解。
　例1　求证：有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角全等。
　　练习这种以命题形式给出的题目，需首先写出已知、求证，再加以证明。
　　已知：如图78，(ABC，和(A’B’C’中，(A＝(A’，(ABC＝(A’B’C’。BD与B’D’分别是(ABC和(A’B’C’的平分线，且BD＝B’D’
　　求证：(ABC ( (A’B’C’
　　分析：要证(ABC ( (A’B’C’，已经知道有两个角对应相等，那么还需找一条边对应相等，这时找两角夹边或找一个角的对边都可以，要想证边相等，还要借助于小三角形(ABD和(A’B’D’或(BCD和(B’C’D’全等，分析出证(ABD ( (A’B’D’较易。

　　证明：∵BD和B’D’是∠ABC和(A’B’C’的平分线（已知）
　　又∵(ABC＝(A’B’C’（已知）
　　　　
　　∴∠ABD＝∠A’B’D’
　　在(ABD和(A’B’D’中
　　
　　((ABD ( (A’B’D’（AAS）
　　(AB＝A’B’（全等三角形对应边相等）
　　在(ABC和(A’B’C’中
　　
　　(ABC ( (A’B’C’（ASA）

　　例2　已知：如图79，(ABC中AB＝AC，(B＝(C，D是BC中点，(BDE＝(CDF。DE、DF分别交CA、BA的延长线于E、F。
　　求证：AE＝AF。

　　分析：若用三角形全等证明线段相等，则这两条线段应分别在两个三角形中，而AE和AF同在(AEF中，但同时可以看到它们又同时在两个三角形(DCE和(DBF的CE和BF边上的一部分，又已知AB＝AC，则只需证出CE＝BF就可以了。CE和BF恰在(DCE和(DBF中，可证此两三角形全等，因此思路打开了。
　　证明：∵D是BC中点（已知）
　　(BD＝CD（中点定义）
　　在(DCE和(DBF中
　　
　　(DCE ( (DBF（ASA）
　　(CE＝BF（全等三角形对应边相等）
　　又∵AB＝AC（已知）
　　(AE＝AF

　　例3　已知：如图80，向(ABC外作正方形ABEF和ACGH，M是BC边中点。
　　求证：FH＝2AM。
　　分析：此题比较复杂，需要做辅助线。在证明一条线段是另一条线段的二倍时，往往将较短线段延长一倍，然后证明延长后的线段与较长线段相等，此种方法应向学生讲明白。
　　延长线段后还要构成三角形，再证明两个三角形全等，此时连结DC或DB均可。

　　证明：延长AM到D使MD＝AM，连结DC。
　　∵M是BC边中点（已知）
　　(BM＝CM（中点定义）
　　在(ABM和(DCM中
　　
　　((ABM ( (DCM（SAS）
　　((1＝(D（全等三角形对应角相等）
　　(AB//DC（内错角相等则两直线平行）
　　则（两直线平行同旁内角互补）
　　又∵正方形ABEF和正方形ACGH（已知）
　　(，且AH＝CA，AF＝AB
　　（周角定义）
　　((ACD＝(HAF
　　又∵(ABM ( (DCM（已证）
　　∴DC＝AB＝FA（全等三角形对应边相等）
　　在(AFH和(CDA中
　　
　 ((AFH ( (CDA（SAS）
　 (FH＝AD（全等三角形对应边相等）
　　∵AD＝2AM（作图）
　　∴FH=2AM

（三）巩固练习
　1. 已知：如图81，(BAC＝(DAE，(ABD＝(ACE，BD＝CE，
　　求证：AD＝AE。

　2. 已知：如图82，AB//DC，且AB＝DC。
　　若AE平分(BAD，CF平分(DCB
　　求证：AE＝CF。

（四）小结
　1. 这一节课集中复习了四种判定方法的灵活运用，还进一步明确了“SSA”和“AAA”不一定全等，因此对求证三角形全等问题已经有了比较系统的知识，在今后做题中应进一步巩固。
　2. 见到较为复杂的题目时要仔细地分析已知条件，可用各种符号将相等的边或角标出，尽量找出全等的条件，若条件不够时应考虑添加辅助线或证两次以上的全等。

(五)作业
　1. 已知如图83，点A是线段BC的垂直平分线AD上的一点，DE//AC，交AB于E，DF//AB，交AC于F。求证：DE＝CF，DF＝BE

　2. 已知：如图84，AB＝AC，AD＝AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，(1＝(2
　　求证：BM＝CN。

（古伟）

答案及提示
巩固练习
　1. 证明：∵(BAC＝(DAE（已知）
　　((BAC－(DAC＝(DAE－(DAC（等量减等量差相等）
　　即(BAD＝(CAE
　　在(BAD和(CAE中
　　
　　((BAD ( (CAE（AAS）
　　(AD＝AE（全等三角形对应边相等）

　2. 证明：∵AB//DC且AB＝DC（已知）
　　(四边形ABCD是平行四边形
　　((BAD＝(BCD（平行四边形对角相等）
　　∵AE平分(BAD，CF平分(DCB（已知）
　　((BAE＝(DCF（角平分线定义）
　　 又AB//CD（已知）
　　((ABE＝(CDF（两直线平行内错角相等）
　　在(ABE和(CDF中
　　
　　((ABE ( (CDF（AAS）
　　(AE＝CF（全等三角形对应边相等）

作业
　1. 证明：∵A是线段BC垂直平分线上的点
　　((ADC＝(ADB＝Rt(，且BD＝DC。

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　　((ABD ( ( ACD（SAS）
　　(AB＝AC（全等三角形对应边相等）
　　又∵DE//AC（已知）DF//AB（已知）
　　((EDB＝(C，((FDC＝(B（两直线平行内错角相等）
　　在(BED和(CFD中
　　
　　(BED ( (CFD（ASA）
　　(DE＝CF，DF＝BE（全等三角形对应边相等）

　2. 证明：∵(1＝(2（已知）
　　∵(1＋(BAC＝(2＋(BAC（等量加等量和相等）
　　即(DAC＝(EAB
　　在(DAC和(EAB中
　　
　　((DAC ( (EAB（SAS）
　　((D＝(E（全等三角形对应角相等）
　　在(DAM和(EAN中
　　
　　((DAM ( (DAN（ASA）
　　(AM＝AN（全等三角形对应边相等）
　　(AB－AM＝AC－AN（等量减等量差相等）
即BM＝CN

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