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人教新课标数学七年级《同底数幂的除法》教学设计,
同底数幂的除法
一、教学目标
(一)知识目标
1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.
2.了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题.
3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.
(二)能力目标
1.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力.
2.提高学生观察、归纳、类比、概括等能力.
(三)情感目标
在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养.
二、教学重难点
（一）教学重点
同底数幂除法的运算性质及其应用.
（二）教学难点
零指数幂和负整数指数幂的意义.
三、教具准备
投影片五张
第一张：提出问题，记作(§1.5 A)
第二张：做一做，记作(§1.5 B)
第三张：例1，记作(§1.5 C)
第四张：想一想，猜一猜，记作(§1.5 D)
第五张：例2，记作(§1.5 E)
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
出示投影片(§1.5 A)：
图1－15
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
［师］这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，下面请同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果.
［生］根据题意，可得需要这种杀菌剂1012÷109个.
而1012÷109==
=10×10×10=1000(个)
［生］我是这样算1012÷109的.
1012÷109=(109×103)÷109
==103=1000.
［师］1012÷109是怎样的一种运算呢？
［生］1012×109是同底数幂的乘法运算，1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算.
［师］很好！通过上面的问题，我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质.
Ⅱ.了解同底数幂除法的运算及其应用
［师］下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例，并从中归纳出同底数幂除法的运算性质.(出示投影片§1.5 B)
做一做：计算下列各式，并说明理由(m>n).
(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.
［生］解：(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底数幂乘法的性质
=103；
［生］解：(1)108÷105
== ——幂的意义
=1000=103；
［生］解：(2)10m÷10n
= ——幂的意义
==10m－n ——乘方的意义
(3)(－3)m÷(－3)n
= ——幂的意义
= ——约分
=(－3)m－n ——乘方的意义
［师］我们利用幂的意义，得到：
(1)108÷105=103=108－5;
(2)10m÷10n=10m－n(m>n);
(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).
观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗？
［生］从上面三个式子中发现，运算前后的底数没有变化，商的指数是被除数与除数指数的差.
［生］从以上三个特例，可以归纳出同底数幂的运算性质：am÷an=am－n(m,n是正整数且m>n).
［生］小括号内的条件不完整.在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题：除数不能为0.不然这个运算性质无意义.所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0，记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中，a可取任意数或整式，所以没有此规定.
［师］很好！这位同学考虑问题很全面.所以同底数幂的除法的运算性质为：
am÷an=am－n(a≠0,m、n都为正整数，且m>n)运用自己的语言如何描述呢？
［生］同底数幂相除，底数不变，指数相减.
［师］能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗？
［生］可以.由幂的意义，得
am÷an===am－n.(a≠0)
出示投影片(§1.5 C)
［例1］计算：
(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;
(5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.
(7)地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义.
解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)
(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)
(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)
(7)根据题意，得：
106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍.
评注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整数，且m>n)中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等.
2°(5)小题，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.
3°(6)小题，易错为(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底数是m,而(－m)2的底数是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.
Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义
出示投影片(§1.5 D)
想一想：
10000=104, 16=24,
1000=10( ), 8=2( ),
100=10( ), 4=2( ),
10=10( ). 2=2( ).
猜一猜
1=10( ), 1=2( ),
0.1=10( ), =2( ),
0.01=10( ), =2( ),
0.001=10( ). =2( )
［师］我们先来看“想一想”，你能完成吗？完成后，观察你会发现什么规律？
［生］1000=103， 8=23，
100=102， 4=22，
10=101. 2=21.
观察可以发现，在“想一想”中幂都大于1，幂的值每缩小为原来的(或)，指数就会减小1.
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［师］你能利用幂的意义证明这个规律吗？
［生］设n为正整数，10n>1,当它缩小为原来的时，可得10n×====10n－1;又如2n>1,当它缩小为原来的时，可得2n×==2n÷2=2n－1.
［师］保持这个规律，完成“猜一猜”.
［生］可以得到猜想
1=100， 1=20，
=0.1=10－1, =2－1,
=0.01=10－2, =2－2,
=0.001=10－3. =2－3.
［师］很棒！保持上面的规律，大家可以发现指数不是我们学过的正整数，而出现了负整数和0.
正整数幂的意义表示几个相同的数相乘，如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”，大家归纳一下，如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？
［生］由“猜一猜”得
100=1，
10－1=0.1=,
10－2=0.01==,
10－3=0.001==.
20=1
2－1=,
2－2==,
2－3==.
所以a0=1,
a－p=(p为正整数).
［师］a在这里能取0吗？
［生］a在这里不能取0.我们在得出这一结论时，保持了一个规律，幂的值每缩小为原来的,指数就会减少1，因此a≠0.
［师］这一点很重要.0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样.因为我们规定：a0=1(a≠0);a－p=(a≠0,p为正整数)
我们的规定合理吗？我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的.
例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103－3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0);
而am÷an=(m<n)==,根据同底数幂除法得am÷an=am－n(m<n,m－n为负数).令n－m=p,m－n=－p,则am－n=,即a－p=(a≠0,p为正整数).
因此上述规定是合理的.
出示投影片(§1.5 E)
［例3］用小数或分数表示下列各数：
(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3===0.001;
(2)70×8－2=1×=;
(3)1.6×10－4=1.6×=1.6×0.0001=0.00016.
Ⅳ.课时小结
［师］这一节课收获真不小，大家可以谈一谈.
［生］我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数，而且还了解了它们的定义：a0=1(a≠0),a－p=(a≠0,p为正整数).
［生］这节课还学习了同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，m>n),但学习了负整数和0指数幂之后，m>n的条件可以不要，因为m≤n时，这个性质也成立.
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