人教新课标数学七年级第七章《多边形的内角和》教学设计

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7．3．2　多边形的内角和
[教学目标]
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 
[教学重点、难点]
1．重点：
（1）多边形的内角和公式． 
（2）多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
[教学过程]
一、探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．　
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
　　画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．
　　从中你得到什么结论？
　　同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
二、思考几个问题
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．

　　分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
　　∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．

 三、例题
例1　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
　　分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
　　
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
　　例2　如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
　　　　∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
　　　　由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
　　　　∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

四、课堂练习　
课本P89练习1、2、3题．
P90第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容．
六、课后作业 
课本P90第4、5、6题．
备选题：

一、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（　　） 
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（　　）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（　　） 
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（　　） 
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（　　）
二、填空题． 
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为　　　 边形． 
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为　　　 边形． 
3．内角和等于外角和的多边形是　　　 边形． 
4．内角和为1440°的多边形是　　　 ． 
5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是　　　 边形． 
6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是　　　 边形．
7．五边形的对角线有　　　 条，它们内角和为　　　 ． 
8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为　　　 ． 
9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为　　　 ． 
10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=　　　 ．
11．四边形的四个内角中，直角最多有　　　　　个，钝角最多有　　　　 个， 锐角最多有　　　 个．

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www.jiaoshi66.com 12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加　　　 ，外角和增加　　　 ．
三、选择题． 
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（　　） 
A．互为余角　　B．互为邻补角 C．两个角相等　　D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（　　） 
A．九边形　　B．十边形　　C．十一边形　　D．十二边形 
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（　　）
A．6条　　B．7条　　C．8条　　D．9条 
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（　　）
A．增加　　B．减小　　C．不变　 D．不定 
5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（　　） 
A．3　　　B．4　　　　C．5　　　D．7 
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形　　B．八边形　　C．十边形　　D．十二边形 
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（　　）
A．四边形　　B，五边形　　C．六边形　　D．七边形 
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（　　） 
A．180°　　B．360°　　C．720°　　D．1080° 
9．n边形的n个内角中锐角最多有（　　）个．
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 
10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（　　）
A．八边形　　B．九边形　　C．十边形　　D，十一边形
四、解答题． 
1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
　　（1）求它的边数；　　（2）求少的那个内角的度数．
2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？
3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．
6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．
7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？
8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？ 
9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．
求证：∠DBC＝2∠BDC．

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