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全国初中数学竞赛辅导(初1)第07讲 含绝对值的方程

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第七讲 含绝对值的方程及不等式
  从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法.
  一个实数a的绝对值记作|a|,指的是由a所唯一确定的非负实数:

  含绝对值的不等式的性质:
  
  (2)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
  (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
  由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.
  例1 解方程|x-2|+|2x+1|=7.
  分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零

掉绝对值符号再求解.
  解(1)当x≥2时,原方程化为 (x-2)+(2x+1)=7,
   
 -(x-2)+(2x+1)=7.
  
应舍去.
    -(x-2)-(2x+1)=7.

  说明 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去.
  例2 求方程|x-|2x+1||=3的不同的解的个数.
  
为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解.
|x-(2x+1)|=3,

即 |1+x|=3, 所以 x=2或x=-4.
   
  |x+(2x+1)|=3,
即|3x+1|=3,

 的个数为2. 
  例3 若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解.则a的值是多少?
  解 若a<0,原方程无解,所以a≥0.由绝对值的定义可知|x-2|-1=±a,
  所以 |x-2|=1±a.
  (1)若a>1,则|x-2|=1-a<0,无解.|x-2|=1+a,x只能有两个解x=3+a和x=1-a.
  (2)若0≤a≤1,则由|x-2|=1+a,求得x=1-a或x=3+a;
  由|x-2|=1-a,求得x=1+a或x=3-a.
  原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,a必为整数,所以a只能取0或1.当a=0时,原方程的解为x=3,1,只有两个解,与题设不符,所以a≠0.当a=1时,原方程的解为x=4,0,2,有三个解.
  综上可知,a=1.
  例4 已知方程|x|=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围.
  解 设x为方程的负根,则-x=ax+1,即 
所以应有a>-1.反之,a>-1时,原方程有负根.
  设方程有正根x,则x=ax+1,即 
所以a<1.反之,a<1时,原方程有正根.
  综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须a≥1.
  例5 设  求x+y.
  分析 从绝对值的意义知 
  两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零.
  解 由题设有  
       
把③代入①得

解之得y=-3,所以x=4.故有x+y=4-3=1.
  例6 解方程组 
  分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1,即 x=y+1或x=y-1.
  与②结合有下面两个方程组
          
  解(Ⅰ):把x=y+1代入|x|+2|y|=3得 |y+1|+2|y|=3.

组(Ⅰ)的解为 同理,解(Ⅱ)有 
  故原方程组的解为 
  例7 解方程组 
  解 由①得 x+y=|x-y|+2.
因为|x-y|≥0,所以x+y>0,所以|x+y|=x+y. ③
  把③代入②有 x+y=x+2,
所以y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以x-2=x, ④
   或 x-2=-x. ⑤
   ④无解,所以只有解⑤得x=1.故 为原方程组的解.
  说明 本题若按通常的解法,区分x+y≥0和x+y<0两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有x+y>0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程.
  例8 解不等式|x-5|-|2x+3|<1.
  
   <x≤5,x>5.
  -(x-5)-[-(2x+3)]<1,

-(x-5)-(2x+3)<1,

  (3)当x>5时,原不等式化为 x-5-(2x+3)<1,
  解之得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.
  的解. 
  例9 解不等式1≤|3x-5|≤2.
  分析与解 此不等式实际上是

  解 对|3x-5|≥1:
    
 
    对|3x-5|≤2:
   
 
    
  所以①与②的公共解应为   

  例 10 解不等式||x+3|-|x-3||>3.
  解 从里往外去绝对值符号,将数轴分为x≤-3,-3<x≤3,x>3三段来讨论,于是原不等式化为如下三个不等式组.
   
   
  
 即    x≤-3.
     
 即    x>3.
  
  说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不等式

  分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法.
  例11 当a取哪些值时,方程|x+2|+|x-1|=a有解?
  解法1 (1)当x≤-2时,|x+2|+|x-1|=-2x-1≥-2(-2)-1=3.
  (2)当-2<x<1时,|x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3.
  (3)当x≥1时,|x+2|+|x-1|=2x+1≥2·1+1=3.
  所以,只有当a≥3时,原方程有解.
解法2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|,故
|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3.
  其中等号当-2≤x≤1时成立,所以当a≥3时,原方程有解.
练习七
  1.解下列方程:
  (1)|x+3|-|x-1|=x+1;
  (2)||1+x|-1|=3x;
  (3)|3x-2|-|x+1|=x+2;
  (4)|3y-2|=-|5x-3|.
  2.解方程组:
   
  3.解下列不等式:
  











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