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全国初中数学竞赛辅导(初1)第05讲 方程组的解法

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第五讲 方程组的解法
  二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.
  例1 解方程组  

  解 将原方程组改写为
  由方程②得x=6+4y,代入①化简得11y-4z=-19. ④
  由③得2y+3z=4. ⑤
   ④×3+⑤×4得 33y+8y=-57+16,
  所以 y=-1.
  将y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以
为原方程组的解.
  说明 本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.
  解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.
  例2 解方程组

  解法1 由①,④消x得

  由⑥,⑦消元,得 解之得 
  将y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以 
  解法2 由原方程组得

  所以     x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u)
 =33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x,
   即x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以  为原方程组的解.
  解法3 ①+②+③+④得x+y+z+u=10, ⑤
    由⑤-(①+③)得y+u=6, ⑥
    由①×2-④得4y-u=4, ⑦
     ⑥+⑦得y=2.以下略.
  说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅.
  例3 解方程组
  分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:
     ①+②得x+u=3, ⑥
     ②+③得y+v=5, ⑦
     ③+④得z+x=7, ⑧
     ④+⑤得u+y=9. ⑨
   又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩
   ⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以
为原方程组的解.
  例4 解方程组

  解法1 ①×2+②得  
    由③得     
    代入④得      
   
  
   为原方程组的解.
   
 
为原方程组的解.
  说明 解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消
为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程. 
  例5 已知
     
  分析与解 一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.
  ①-②消去x得  
  ①×3+②消去y得  
  ①×5+②×3消去z得   
    
  例6 已知关于x,y的方程组

分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.
  分析 与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.
  解 由①得 2y=(1+a)-ax, ③
  将③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). ④
  (1)当(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有
   
  因而原方程组有唯一一组解.
  (2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解.
  (3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.
  例7 已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,
当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.
  解法1 根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组    
  将x=3,y=-1代入原方程得  (a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0.
  所以对任何a值  都是原方程的解.
  说明 取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似.
  解法2 可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0.
  由于公共解与a无关,故有
     
  例8 甲、乙两人解方程组

   
原方程的解.
  分析与解 因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解

4×(-3)-b×(-1)=-2. ③
  
a×5+5×4=13. ④
  解由③,④联立的方程组得
所以原方程组应为   
练习五
  1.解方程组
   
  2.若x1,x2,x3,x4,x5满足方程组
     
试确定3x4+2x5的值.
  3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求
  4.k为何值时,方程组有唯一一组解;无解;无穷多解?












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